Bạn đã bao giờ tự hỏi ở đâu chúng ta có hệ thập phân chưa? Đế chế La Mã đã để lại cho Châu Âu hệ thống số La Mã, số La mã đã không bị thay thế cho đến thế kỷ 13 sau công nguyên khi mà Fibonacci xuất bản “Liberabaci” với ý nghĩa là “Cuốn sách của tính toán”.
1. Giới thiệu về Leonardo Fibonacci:
Leonardo Fibonacci, ngưới Ý, (khoảng 1170 – khoảng 1240) tên thật là Léonard de Pise, tự Fibonacci (nghĩa là con của Bonaccio”), Leonardo là con trai của một thương gia Pisan và cũng là một viên chức hải quan ở Bắc Phi. Công việc của cha ông đã tạo sự thích thú cho ông về môn số học và nhờ những chuyến đi dài ngày sang Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily và Provence đã giúp cho ông có cơ hội tiếp xúc với toán học Ai Cập và toán học Phương Đông. Ông bị thu hút bởi tính thực tiễn cao của nền toán học Ấn Độ – Á Rập, Vào năm 1200 ông trở về Pisa và sử dụng kiến thức mà mình học được trong các chuyến đi để viết “Liber abaci” trong đó ông đã giới thiệu với cộng đồng nói tiếng La-tinh về hệ thập phân. Chương 1 của tập 1 bắt đầu như thế này:
Đây là chín con số của người Ấn Độ: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Với chín con số này, và với ký hiệu 0 – cái mà trong Arabic được gọi là zephirum, thì bất kỳ số nào cũng có thể được viết ra và cũng sẽ chứng minh được.
Vào năm 1202 ở tuổi 32 Fibonacci đã công bố công trình nổi tiếng của mình là “Liber abaci”. “Liber abaci” viết về số học và đại số sơ cấp. Cuốn sách minh hoạ rất nhiều và bênh vực mạnh mẽ các ký hiệu của Ấn Độ – Á Rập và đã tìm mọi cách đưa những chữ số này vào Châu Âu. Trong 15 chương của công trình này đã giải thích cách đọc và cách viết các chữ số mới , các phương pháp tính toán các căn bậc hai và bậc ba, việc giải các phương trình bậc nhất, bậc hai bằng các quá trình đại số. Các nghiệm âm và ảo chưa được biết tới. Có đưa ra những ứng dụng trong việc trao đổi, góp vốn, giải các bài toán hợp thành và hình học đo lường. Công trình gồm cả một sưu tập lớn các bài tóan xem như kho tàng cho các tác giả về sau trong nhiều thế kỷ. Một bài toán đưa đến dãy Fibonacci nổi tiếng.
Bằng tài năng đặc biệt của mình Fibonacci đã tìm ra các phép tính hoàn hảo. Ông có thể tìm nghiệm dương của phương trình bậc 3 sau:
Tài năng của Fibonacci đã được Hoàng đế Frederick II chú ý và đã được thỉnh về để dự một cuộc tranh tài về toán học. Ba bài toán được đặt ra bởi John ở Palermo. Bài toán đầu tiên là tìm một số hữu tỉ x sao cho x2+5 và x2-5 đều là số những số bình phương của các số hữu tỉ. Fibonacci đã giải và đưa ra đáp số đúng là 41/12.
Vào năm 1225, Fibonacci đã viết “Liber quadratorum”, một công trình xuất sắc và độc đáo về tính bất định khiến ông trở thành nhà toán học nổi tiếng trong lĩnh vực này cùng với Diophantus và Fermat.
Vào thế kỷ XIII cũng xuất hiện một toán học cùng thời với Fibonacci là Jordanus Nemorarius. Ông viết nhiều công trình về số học, đại số, hình học, thiên văn học và (có lẽ) cả về tĩnh học . Những công trình này có giá trị không cao. Tuy nhiên Nemorarius có lẽ là người đầu tiên đã sử dụng rộng rãi các chữ cái để biểu thị các số tổng quát. Đối với điều này, Fibonacci chỉ làm trong một điều cá biệt duy nhất.
Vào những năm đầu của thế kỷ thứ XIII đã mọc lên những trường đại học ở Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples. Những trường đại học này sau này trở thành những nhân tố quan trọng cho sự phát triển toán học sau này, và có nhiều nhà toán học đã có liên hệ với một hoặc nhiều đại học trên.
Năm 1240, Fibonacci được cộng hòa Pisa vinh danh, đến nay tượng của ông được đặt tại thư viện Camposanto.
2. Dãy số Fibonacci và tỷ lệ vàng
Fibonacci có lẻ được biết đến nhiều nhất với một dãy số đơn giản, được giới thiệu trong Liber abaci và sau đó lấy tên là số Fibonacci để tôn vinh ông.
Dãy này bắt đầu với 0 và 1. Sau đó, dùng một quy tắc đơn giảnlà cộng hai số cuối để được số tiếp theo:
Ví dụ như, Vào năm 1225, Fibonacci tham gia một cuộc thi đấu ở Pisa theo lệnh của vua Frederick II.
2.1. Bài toán con thỏ:
Đây là một cuộc thi công bằng với bài toán đặt ra như sau:
Bắt đầu với một cặp thỏ duy nhất, nếu mỗi tháng mỗi cặp sản xuất (sinh sản) ra một cặp thỏ mới, cặp thỏ mới này bắt đầu sản xuất khi chúng được 1 tháng tuổi, thì sẽ có bao nhiêu thỏ sau n tháng?
2.2. Câu trả lời cho bài toán con thỏ:
- Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
- Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
- Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
- Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
- Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
- Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
- Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
- …
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
- Với n = 1 ta được f(1) = 1.
- Với n = 2 ta được f(2) = 1.
- Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 3 ta được: f(n) = f(n-1) + Số đôi thỏ ở tháng thứ n.
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n – 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n – 2).
Đó là quy tắc đơn giản tạo nên các số Fibonacci.
2.3. Dãy Fibonacci:
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:
2.4. Tỷ lệ vàng:
Tỷ lệ vàng (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoan lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ.
hay tương đương:
chính là số:
Như vậy, tỷ lệ vàng là một số vô tỷ. Tỷ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, một nhà điêu khắc và kiến trúc sư của đền Parthenon.
2.5. Những điều đặc biệt:
Quan sát lại một lần nữa dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…
Dãy số trên có những tính chất đặc biệt đáng chú ý. Thật vô cùng bất ngờ, tỷ số giữa hai số liên tiếp nhau của dãy số đó ngày càng tiến đến số tỷ lệ vàng là 1.618 (căn bậc 2 của 5 cộng 1 rồi chia cho 2)
Thử lấy nghịch đảo của dãy số trên:
Thật thú vị khi:
Và:
Hay:
Ngoài ra ta còn có:
Bây giờ ta xem:
Mà 0.382=1 – 0.618
Còn nữa:
Ta có:
3. Dãy Fibonacci trong cuộc sống:
3.1. Fibonacci trong tự nhiên:
Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89.
- 3 cánh: hoa loa kèn, hoa Iris
- 5 cánh: hoa dâm bụt, hoa cẩm chướng, mao lương vàng, hoa hồng dại, phi yến, hoa sứ, hoa đào…
- 8 cánh: phi yến
- 13 cánh: cúc vạn thọ, cỏ lưỡi chó, một số loài cúc
- 21 cánh: cúc tây, rau diếp xoắn
- 34, 55, 89 cánh: hoa cúc, hoa mã đề
Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng duơng. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hộ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau (tỷ số của chúng tiến tới tỷ số vàng).
3.2. Số Fibonacci và sự mọc của lá xanh từ thân cây:
Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo các số Fibonacci. Nếu chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không che khuất lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và nước mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc theo lá, cành và thân cây.
Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện.
Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá).
Kỳ lạ là: Con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau!
Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới, bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3,… Kinh ngạc thay, mỗi chiếc lá liền kề cách nhau khoảng 222.5°, tức là chính xác 0,618 vòng tròn. 0,618 chính là 1/Ф ( khác với hoa hướng dương là 1- 1/Ф).
Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất, rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13).
Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Nếu bạn là một tín đồ của vận may, hẳn sẽ không lạ gì với cụm từ “cỏ bốn lá’”. Theo như niềm tin tao nhã của những người sưu tập cỏ may mắn, mỗi cánh lá tượng trưng cho một điều gì đó: lá thứ nhất tượng trương cho niềm tin; lá thứ hai là lá Hy vọng; lá thứ ba hẳn là lá của Tình yêu; và lá thứ tư, là chiếc lá may mắn. Vậy sao mà không phải cỏ ba lá hay năm lá, có lẽ vì thật sự rất rất hiếm cỏ bốn lá. Và cái gì hiếm thì mới quý!
Theo ta biết, dãy fibonacci không có số 4, nó chỉ gồm: 0, 1, 1, 2, 3, 5…Và như những quy luật trên, cỏ bốn lá không tồn tại. Tuy nhiên, tạo hóa vốn không phải là điều gì đó có thể đóng khung trung một hai quy luật. Có những loài cỏ có số lượng cánh cố định, thì cũng có những loài cỏ (hạn hữu) có số lượng cánh thay đổi (dù nếu trung bình, chúng vẫn thuộc dãy fibonacci). Vậy có thật sự tồn tại cỏ 4 lá? Có chứ, nhưng theo ước tính thì khoảng 10.000 chiếc cỏ ba lá thì có một chiếc có 4 lá.
3.3. Fibonacci trong thiết kế:
Logo quả táo của Apple không phải được vẽ một cách ngẫu nhiên trên máy tính mà nó tuân theo hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci. Hình chữ nhật được sử dụng để tạo nên kích thước và kiểu dáng của quả táo khuyến Apple có các hình vuông nhỏ bên trong được phân chia theo dãy số Fibonacci (hình dưới). Hình dáng của quả táo, các đường cong ở hai đầu của quả táo, “vết cắn” bên phải, lá của quả táo đều được tạo hình từ hình chữ nhật vàng với kích thước tuân thủ dãy Fibonacci.